概率问题-其他

基础理论知识

题型识别与解题思路

经典例题讲解

以下选取三道典型概率问题进行详细讲解，保留原题题干及选项，并给出解题步骤。

例题1：绳子分成三段构成三角形的概率

题干：将一根绳子任意分成三段，则此三段能构成一个三角形的概率是

选项：A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解题思路：

这是一个几何概型问题。设绳子长度为 $1 $，任意分成三段相当于选择两个切割点 $u $和 $v $，其中 $0 \leq u \leq v \leq 1 $。三段长度分别为 $u $、 $v-u $、 $1-v $。

能构成三角形的条件是三段长度满足三角形不等式：

其中 $a = u $， $b = v-u $， $c = 1-v $。由于 $a+b+c=1 $，条件等价于：

即 $u < \frac{1}{2} $， $v - u < \frac{1}{2} $， $1 - v < \frac{1}{2} $，化简得：

样本空间为区域 $0 \leq u \leq v \leq 1 $，面积为 $\frac{1}{2} $。

事件空间为满足上述条件的区域，即 $u $从 $0 $到 $\frac{1}{2} $， $v $从 $\frac{1}{2} $到 $u + \frac{1}{2} $。

计算事件空间面积：

$\text{面积} = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left( (u + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \right) du = \int_{0}^{\frac{1}{2}} u \, du = \left[ \frac{1}{2} u^2 \right]_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8} $

概率为：

$P = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4} $

因此，概率为 $\frac{1}{4} $，对应选项 A. 1（这里选项可能表示概率值的分子或简化形式）。

例题2：小波投掷米粒决定周末活动

题干：小波通过往圆圈里投掷米粒（米粒本身长度不计，视为一个点）的方式决定自己的周末活动。经过试验，他将米粒投进圆圈内的成功率达到 $100\% $，但投掷在圆内的位置随机。如果米粒到圆心的距离大于半径的一半，那么他周末去看电影；若米粒到圆心的距离小于半径的 $\frac{1}{4} $，他会去打篮球；否则，他将在家看书。据此可知小波周末不在家看书的概率为：

选项：A. 13 B. 2 C. 3 D. 5

解题思路：

这是一个几何概型问题。设圆半径为 $r $，圆面积为 $\pi r^2 $。

事件空间面积为$\frac{3}{4} \pi r^2 + \frac{1}{16} \pi r^2 = \frac{12}{16} \pi r^2 + \frac{1}{16} \pi r^2 = \frac{13}{16} \pi r^2$

概率为：

$P = \frac{\frac{13}{16} \pi r^2}{\pi r^2} = \frac{13}{16} $

因此，概率为 $\frac{13}{16} $，对应选项 A. 13（这里选项可能表示分子）。

例题3：正方形土地中选点与顶点距离问题

题干：在一块边长为20米的正方形土地中随机选择1个点，则选中的点与这块土地4个顶点的距离均大于10米的概率在以下哪个范围内？

选项：A. 不到0.2 B. 0.2~0.25之间 C. 0.25~0.32之间 D. 超过0.3

解题思路：

这是一个几何概型问题。正方形土地边长为20米，面积为 $20 \times 20 = 400 $平方米。

点与4个顶点的距离均大于10米，意味着点不在以每个顶点为圆心、半径为10米的四分之一圆内。

每个四分之一圆的面积为 $\frac{1}{4} \pi \times 10^2 = 25\pi $，四个四分之一圆总面积为 $4 \times 25\pi = 100\pi $。

由于四分之一圆在正方形内无重叠（边界点面积为零），事件空间面积为正方形面积减去四分之一圆总面积：

$400 - 100\pi $

概率为：

$P = \frac{400 - 100\pi}{400} = 1 - \frac{\pi}{4} \approx 1 - 0.785 = 0.215 $

因此，概率约为0.215，在0.2~0.25之间，对应选项 B。