一、基础理论知识
排列：从n个不同元素中取出m个元素，按一定顺序排成一列，记作 $P_n^m
$，公式为：
$P_n^m = \frac{n!}{(n-m)!} $
组合：从n个不同元素中取出m个元素，不考虑顺序，记作 $C_n^m
$，公式为：
$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!} $
特殊模型：
圆排列：n个人围成一圈，排列数为 $(n-1)!$
隔板法：用于将相同物品分配到不同组
容斥原理：解决重叠问题
二、题型识别
问题涉及"顺序"或"选择"，如安排座位、分组比赛等
有限制条件，如不相邻、至少、至多等
出现"不同方案""多少种方法"等关键词
三、解题思路
1.
理解题意：明确是排列还是组合问题
2.
分析条件：使用捆绑法、插空法等处理限制条件
3.
计算求解：应用公式或原理计算
4.
检查答案：确保结果合理
四、经典例题讲解
例题1：圆桌敬酒问题
题干：中秋假期，小王请同在一个城市的9位大学同学聚餐。10人围坐一桌，敬酒前小王提出一个建议：每个人要同不相邻的同学喝一杯。如果小王的提议被通过，那么一共要准备______杯酒。
选项：A.70 B.90 C.140 D.210
解题思路：
10人围坐圆桌，每个人有2个相邻的人，因此不相邻的人数为 $10 - 3 = 7$ 人
每个人都要与7个不相邻的人喝一杯，因此每个人需要喝7杯酒
总杯数为 $10 \times 7 = 70$ 杯（注：每杯酒对应一次敬酒动作，不除以2）
答案：A.70
例题2：橡皮购买问题
题干：商店销售某款橡皮，有每盒3块、每盒5块和每盒10块三种不同的包装，且只能整盒出售而不能拆散。某日卖出这款橡皮不到50盒，且当日任意2名顾客购买的橡皮块数都不相同。问当天最多有多少名顾客购买了这款橡皮？
选项：A.17 B.18 C.19 D.20
解题思路：
顾客购买的橡皮块数必须为3、5、10的线性组合，且块数互不相同
总盒数少于50盒，为了最大化顾客数，应选择最小盒数较小的块数
列出可能块数的最小盒数：
最小盒数为1的块数：3、5、10（3个顾客，盒数3）
最小盒数为2的块数：6、8、13、15、20（5个顾客，盒数10）
最小盒数为3的块数：9、11、16、18、23、25、30（7个顾客，盒数21）
总盒数： $3 + 10 + 21 = 34$ 盒
剩余盒数： $50 - 34 = 16$ 盒，但总盒数需小于50，因此最多添加3个最小盒数为4的顾客（盒数12），总盒数46盒
总顾客数： $3 + 5 + 7 + 3 = 18$ 人
答案：B.18
例题3：足球比赛得分问题
题干：有5支足球队进行单循环比赛，每场比赛胜者得3分，负者不得分，平局双方各得1分。比赛结束后，若5支球队的总得分为25分，冠军得12分，则亚军得：
选项：A.5分 B.6分 C.7分 D.8分
解题思路：
5支球队单循环，比赛场数为 $C_5^2 = 10$ 场
设胜负场数为 $x
$，平局场数为 $y
$，则：
$\begin{cases} x + y = 10 \\ 3x + 2y = 25 \end{cases}$
解得 $x = 5 $，$y = 5$
冠军得12分，必须全胜（4胜），否则得分不足12分
其他4支球队均输给冠军，得分仅来自彼此之间的6场比赛（其中平局5场、胜负局1场）
4支球队中：
两支球队未参与胜负局，全部平局，各得3分
一支球队赢得胜负局，且另两场平局，得5分
一支球队输掉胜负局，且另两场平局，得2分
因此，亚军得分为5分
答案：A.5分
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