一、基础理论知识
错位排列（Derangement）是排列组合中的一种特殊问题，指将 $n$ 个元素重新排列，使得每个元素都不在原来的位置上。错位排列的数量记为 $D_n $。
常用公式
递推公式：
$D_n = (n-1) \times (D_{n-1} + D_{n-2}) $
其中，初始值 $D_1 = 0 $, $D_2 = 1 $。
通项公式：
$D_n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} $
近似公式：
$D_n = \left\lfloor \frac{n!}{e} + \frac{1}{2} \right\rfloor $
（其中 $e$ 是自然常数）
常用数值记忆表
$n$ | $D_n$ |
1 | 0 |
2 | 1 |
3 | 2 |
4 | 9 |
5 | 44 |
6 | 265 |
二、题型识别
错位排列问题通常具有以下特征：
有 $n$ 个元素，每个元素都有一个"指定位置"
要求重新排列这些元素，使得每个元素都不在原来的指定位置上
常见应用场景：
信封错装（信装错信封）
座位安排（人不坐自己座位）
礼物交换（不拿自己礼物）
数字排列（数字不在对应位置）
三、解题思路
1.
识别问题：判断是否满足错位排列条件——每个元素都不在原位
2.
确定 $n
$：找出元素个数 $n$
3.
选择方法：
如果 $n$ 较小（如 $n \leq 6
$），直接使用记忆的 $D_n$ 值
如果 $n$ 较大，使用递推公式或通项公式计算
4.
注意陷阱：有时问题可能不是完全错位，而是部分元素错位，需结合容斥原理或其他方法
四、经典例题讲解
例题1：信封错装问题
题干：有4封信和4个信封，如果每封信都装错信封，那么有多少种不同的装法？
选项：A. 6 B. 9 C. 12 D. 15
讲解：
这是典型的错位排列问题，$n = 4$
直接使用错位排列公式 $D_4 = 9$
因此，共有9种装法
答案：B
例题2：座位安排问题
题干：5个人参加一场会议，他们被安排在一张有5个座位的长桌上就坐，但每个人都不坐在自己指定的座位上。问有多少种不同的坐法？
选项：A. 44 B. 36 C. 24 D. 20
讲解：
问题要求每个人都不坐自己指定座位，即错位排列，$n = 5$
使用错位排列公式 $D_5 = 44$
因此，共有44种坐法
答案：A
例题3：数字排列问题
题干：用数字1,2,3,4组成没有重复数字的四位数，但要求数字1不在第一位，数字2不在第二位，数字3不在第三位，数字4不在第四位。问这样的四位数有多少个？
选项：A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
讲解：
问题要求每个数字都不在对应的位置上（1不在第1位、2不在第2位等），符合错位排列条件，$n = 4$
直接使用 $D_4 = 9$
因此，共有9个这样的四位数
答案：A