一、基础理论知识
容斥原理是解决集合重叠问题的数学工具，用于计算多个集合的并集或交集的大小。在三集合问题中，涉及三个集合 A、B、C，常见公式如下：
1. 标准三集合容斥公式
$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| $
其中：
$|A \cup B \cup C|$ 表示至少属于一个集合的总人数
$|A|$、 $|B|
$、 $|C|
$ 分别表示集合 A、B、C 的人数
$|A \cap B|$ 表示同时属于 A 和 B 的人数（包括同时属于三个集合的）
$|A \cap B \cap C|$ 表示同时属于三个集合的人数
2. 变形公式（当给出"只参加两个集合"的人数时）
设：
$x$ 为只参加 A 和 B 的人数（不包括参加三个集合的）
$y$ 为只参加 A 和 C 的人数
$z$ 为只参加 B 和 C 的人数
$t$ 为同时参加三个集合的人数
则总人数为：
$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - (x + y + z) - 2t $
二、题型识别
三集合容斥原理问题在行测中常见特征：
题干涉及三个类别或活动（如参加三项活动、订阅三种报纸等）
给出各类别人数、交集人数或并集人数
要求求解只参加一项、参加多项或特定集合的人数差
常见关键词："至少一项"、"只参加一项"、"同时参加两项"等
三、解题思路
1.
明确集合：识别三个集合 A、B、C，并列出已知数据
2.
画维恩图：可视化集合关系，辅助理解
3.
选择公式：根据已知数据选用标准公式或变形公式
4.
设立方程：若变量不足，设未知数并列方程求解
5.
计算答案：注意只参加一项、两项等细节，避免重复计算
四、经典例题讲解
例题1
题干：
某单位有80名职工参加了义务劳动、希望工程捐款和探望敬老院三项公益活动中的至少一项。只参加一项的人数与参加超过一项的人数相同，参加所有三项公益活动的与只捐款的人数均为12人，且只探望敬老院的人比只参加义务劳动的人多16人。问探望敬老院的人最多比参加义务劳动的人多多少人？
A.28 B.32 C.36 D.44
解题步骤：
1.
设集合 V（义务劳动）、D（捐款）、N（探望敬老院）
2.
总人数 $|V \cup D \cup N| = 80$
3.
只参加一项人数 = 参加超过一项人数 = 40
4.
$|V \cap D \cap N| = 12$，只捐款人数（只 D）= 12
5.
只 N = 只 V + 16
6.
设只 V 为 $x
$，则只 N 为 $x + 16$
7.
只一项人数：只 V + 只 D + 只 N = $x + 12 + (x + 16) = 40$
8.
$2x + 28 = 40$ → $x = 6$
9.
所以只 V = 6，只 N = 22
10.
参加超过一项人数包括只参加两项和参加三项：只参加两项人数 = 40 - 12 = 28
11.
设只 V 和 D 为 $a
$，只 V 和 N 为 $b
$，只 D 和 N 为 $c
$，则 $a + b + c = 28$
12.
计算 $|N| - |V|
$：
$|V| = \text{只 V} + a + b + 12 = 6 + a + b + 12 = 18 + a + b$
$|N| = \text{只 N} + b + c + 12 = 22 + b + c + 12 = 34 + b + c$
$|N| - |V| = (34 + b + c) - (18 + a + b) = 16 + c - a$
13.
最大化 $16 + c - a
$：由 $a + b + c = 28
$，当 $a = 0
$, $b = 0
$, $c = 28$ 时， $c - a = 28
$ 最大
14.
$|N| - |V| = 16 + 28 = 44$
答案：D.44
例题2
题干：
某单位举办设有 A、B、C 三个项目的趣味运动会，每位员工三个项目都可以报名参加。经统计，共有72名员工报名，其中参加 A、B、C 三个项目的人数分别为26、32、38，三个项目都参加的有4人，则仅参加一个项目的员工人数是：
A.48 B.40 C.52 D.44
解题步骤：
1.
设 $|A| = 26
$, $|B| = 32
$, $|C| = 38
$, $|A \cap B \cap C| = 4$
2.
设仅参加 A 为 $a
$，仅参加 B 为 $b
$，仅参加 C 为 $c$
3.
设只参加 A 和 B 为 $x
$，只参加 A 和 C 为 $y
$，只参加 B 和 C 为 $z$
4.
总人数： $a + b + c + x + y + z + 4 = 72
$ → $a + b + c + x + y + z = 68
$（方程1）
5.
集合方程：
$|A| = a + x + y + 4 = 26$ → $a + x + y = 22
$（方程2）
$|B| = b + x + z + 4 = 32$ → $b + x + z = 28
$（方程3）
$|C| = c + y + z + 4 = 38$ → $c + y + z = 34
$（方程4）
6.
求 $a + b + c
$：
相加方程2、3、4：$(a + x + y) + (b + x + z) + (c + y + z) = 22 + 28 + 34$
$a + b + c + 2(x + y + z) = 84$（方程5）
7.
令 $S = a + b + c
$, $T = x + y + z
$，则：
$S + T = 68$
$S + 2T = 84$
相减得 $T = 16
$, $S = 52$
答案：C.52
例题3
题干：
联欢会上，有24人吃冰激凌、30人吃蛋糕、38人吃水果，其中既吃冰激凌又吃蛋糕的有12人，既吃冰激凌又吃水果的有16人，既吃蛋糕又吃水果的有18人，三样都吃的则有6人。假设所有人都吃了东西，那么只吃一样东西的人数是多少？
A.12 B.18 C.24 D.32
解题步骤：
1.
设集合 I（冰激凌）、C（蛋糕）、F（水果）
2.
$|I| = 24$, $|C| = 30
$, $|F| = 38$
3.
$|I \cap C| = 12$, $|I \cap F| = 16
$, $|C \cap F| = 18
$, $|I \cap C \cap F| = 6$
4.
计算总人数：
$|I \cup C \cup F| = 24 + 30 + 38 - 12 - 16 - 18 + 6 = 52$
5.
计算只吃两种的人数：
只吃 I 和 C：$12 - 6 = 6$
只吃 I 和 F：$16 - 6 = 10$
只吃 C 和 F：$18 - 6 = 12$
只吃两种总人数：$6 + 10 + 12 = 28$
6.
吃三种人数：6
7.
吃多样总人数：$28 + 6 = 34$
8.
只吃一样人数：总人数 - 吃多样人数 = $52 - 34 = 18$
答案：B.18
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