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行程问题-其他

行程问题-其他

掌握“流水行船（顺水速＝船速＋水速，逆水速＝船速－水速）”“扶梯（可见级＝人走级±梯走级）”“发车间隔（最小公倍数）”三模型，画速度-时间图，秒列方程。


一、基础理论知识


行程问题核心是研究物体运动中的速度、时间和距离之间的关系。基本公式为：


$s = v \times t $


其中， $s $表示距离， $v $表示速度, $t $ 表示时间。


在复杂行程问题中，常涉及以下概念：


相对速度：当两个物体相对运动时，相对速度取决于运动方向（同向时相对速度为速度差，反向时为速度和）
平均速度：对于非匀速运动，平均速度公式为 $v_{\text{avg}} = \frac{\text{总距离}}{\text{总时间}} $。若一段路程中速度均匀变化，则平均速度可取初速度和末速度的算术平均值
加速度问题：当物体做匀加速运动时，可用公式 $v = v_0 + at$ 和 $s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 $，其中 $a$ 为加速度
比例关系：当速度、时间或距离成比例时，可通过设未知数或比例简化计算

常见题型包括直线运动中的相遇追及、环形跑道问题、往返运动、速度变化问题等。


二、题型识别与解题思路


题型识别：题目中常出现"往返""加速""追及""相遇"等关键词，涉及多个路段或速度变化
解题思路：
1.
仔细阅读题干，明确运动过程（如匀速、加速、往返）
2.
定义变量（速度、时间、距离），必要时设未知数
3.
根据条件建立方程，利用核心公式和比例关系
4.
注意单位统一，避免计算错误
5.
对于图形题，分析图线趋势（如配速-时间图）

三、经典例题讲解


例题1：速度比例问题


题干：从甲地到乙地为下坡路，从乙地到丙地为上坡路。小张从甲地开车经过乙地前往丙地，此后原路返回。其上坡速度是下坡的60%。已知他从甲地到乙地用时正好是去程全程用时的一半，则他返程全程用时比去程全程用时：


A. 少不到10%

B. 少10%以上

C. 多不到10%

D. 多10%以上


解题思路：


1.
设甲地到乙地距离为 $s_1 $，乙地到丙地距离为 $s_2 $，下坡速度为 $v $，则上坡速度为 $0.6v$
2.
去程：甲到乙用时 $t_1 = \frac{s_1}{v} $，乙到丙用时 $t_2 = \frac{s_2}{0.6v} $。去程总用时 $t_{\text{去}} = t_1 + t_2$
3.
已知 $t_1 = \frac{1}{2} t_{\text{去}} $，即 $t_1 = t_2 $，所以：

$\frac{s_1}{v} = \frac{s_2}{0.6v} \implies s_1 = \frac{5}{3} s_2 $

4.
返程：丙到乙为下坡，用时 $t_3 = \frac{s_2}{v} $；乙到甲为上坡，用时 $t_4 = \frac{s_1}{0.6v} $。返程总用时：

$t_{\text{返}} = t_3 + t_4 = \frac{s_2}{v} + \frac{s_1}{0.6v} = \frac{s_2}{v} + \frac{\frac{5}{3} s_2}{0.6v} = \frac{s_2}{v} + \frac{25 s_2}{9v} = \frac{34 s_2}{9v} $

5.
去程总用时：

$t_{\text{去}} = t_1 + t_2 = \frac{s_1}{v} + \frac{s_2}{0.6v} = \frac{\frac{5}{3} s_2}{v} + \frac{5 s_2}{3v} = \frac{10 s_2}{3v} = \frac{30 s_2}{9v} $

6.
比较： $t_{\text{返}} - t_{\text{去}} = \frac{34 s_2}{9v} - \frac{30 s_2}{9v} = \frac{4 s_2}{9v} $，百分比为：

$\frac{t_{\text{返}} - t_{\text{去}}}{t_{\text{去}}} = \frac{\frac{4 s_2}{9v}}{\frac{30 s_2}{9v}} = \frac{4}{30} \approx 13.3\% $


所以返程用时多10%以上，选D。


例题2：均匀加速问题


题干：李某骑车从甲地出发前往乙地，出发时的速度为15千米/小时，此后均匀加速，骑行25%的路程后速度达到21千米/小时。剩余路段保持此速度骑行，总行程前半段比后半段多用时3分钟。问甲、乙两地之间的距离在以下哪个范围内？


A. 不到23千米

B. 在23~24千米之间

C. 在24~25千米之间

D. 超过25千米


解题思路：


1.
设总距离为 $s$ 千米。前25%路程为匀加速运动，初速度 $v_0 = 15$ km/h，末速度 $v = 21$ km/h，平均速度：

$v_{\text{avg1}} = \frac{v_0 + v}{2} = \frac{15 + 21}{2} = 18 \text{ km/h} $

用时 $t_1 = \frac{0.25s}{18}$ 小时

2.
后75%路程以21 km/h匀速行驶，用时 $t_2 = \frac{0.75s}{21}$ 小时
3.
总行程前半段（前50%路程）包括前25%加速和后25%匀速，用时：

$t_{\text{前}} = t_1 + \frac{0.25s}{21} = \frac{0.25s}{18} + \frac{0.25s}{21} $

4.
后半段（后50%路程）全部匀速，用时：

$t_{\text{后}} = \frac{0.5s}{21} $

5.
已知 $t_{\text{前}} - t_{\text{后}} = 3$ 分钟 $= 0.05$ 小时：

$\left( \frac{0.25s}{18} + \frac{0.25s}{21} \right) - \frac{0.5s}{21} = 0.05 $

简化得：

$\frac{0.25s}{18} - \frac{0.25s}{21} = 0.05 \implies 0.25s \left( \frac{1}{18} - \frac{1}{21} \right) = 0.05 $

$\frac{1}{18} - \frac{1}{21} = \frac{1}{126} \implies \frac{s}{4} \times \frac{1}{126} = 0.05 \implies \frac{s}{504} = 0.05 $

$s = 0.05 \times 504 = 25.2 \text{ 千米} $


所以距离超过25千米，选D


例题3：往返运动问题


题干：张某8：00开车从A地出发，在A、B两地之间往返行驶。8：30第一次到达A、B之间的C点时加速30%继续行驶，并于9：00第二次到达C点。问AC距离是BC距离的多少倍？


A. $\frac{10}{13}$

B. $\frac{13}{10}$

C. $\frac{20}{13}$

D. $\frac{13}{5}$


解题思路：


1.
设AC距离为 $x $，BC距离为 $y $，初始速度为 $v$
2.
从A到C：用时30分钟（0.5小时），所以：

$x = v \times 0.5 \implies v = 2x $

3.
从C点加速后，速度变为 $1.3v $。从8:30到9:00（30分钟），车辆从C到B再返回C，总距离为 $2y $，用时0.5小时：

$\frac{2y}{1.3v} = 0.5 \implies 2y = 0.5 \times 1.3v \implies y = \frac{0.65v}{2} = 0.325v $

4.
代入 $v = 2x $：

$y = 0.325 \times 2x = 0.65x $

5.
求比例：

$\frac{x}{y} = \frac{x}{0.65x} = \frac{1}{0.65} = \frac{100}{65} = \frac{20}{13} $


所以AC距离是BC距离的 $\frac{20}{13}$ 倍，选C


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