一、理论知识讲解
工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间关系的问题。在"给完工时间型"中，题目通常给出多个主体（如甲、乙、丙等）单独完成整个工作所需的时间，要求计算他们合作或部分合作完成所需的时间。
核心思路：假设工作总量为1（单位1），根据各主体的完工时间计算工作效率，再结合问题求解。
二、题型识别
典型特征：
题干明确给出多个主体单独完成整个工作所需的时间
常见问法："合作需要多少天？""从开始到完成共用了多少天？"
可能出现中途加入/退出、部分合作等变体
三、解题思路
1.
设工作总量：通常设 $W = 1$
2.
求工作效率： $P = \frac{1}{T}
$（ $T
$为完工时间）
3.
求合作效率：$P_{\text{合}} = \sum P_i$
4.
求合作时间：$T_{\text{合}} = \frac{W}{P_{\text{合}}}$
5.
处理变体问题：计算已完成工作量和剩余工作量
四、核心公式
工作总量：$W$
工作效率：$P$
工作时间：$T$
基本关系：$W = P \times T$
工作效率：$P = \frac{W}{T}$
工作时间：$T = \frac{W}{P}$
给完工时间型（设 $W = 1
$）：
各主体效率：$P_i = \frac{1}{T_i}$
合作效率：$P_{\text{合}} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{T_i}$
合作时间：$T_{\text{合}} = \frac{1}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{T_i}}$
五、例题讲解
例题1：基础合作问题
甲单独完成一项工作需要10天，乙单独完成需要15天。问甲、乙合作完成需要多少天？
解题步骤：
1.
设工作总量 $W = 1$
2.
甲效率 $P_{\text{甲}} = \frac{1}{10}
$，乙效率 $P_{\text{乙}} = \frac{1}{15}$
3.
合作效率 $P_{\text{合}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$
4.
合作时间 $T_{\text{合}} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6$ 天
答：甲、乙合作需要6天完成。
例题2：三人合作问题
一项工程，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要18天，丙单独完成需要24天。如果三人合作，需要多少天完成？
解题步骤：
1.
设工作总量 $W = 1$
2.
甲效率 $P_{\text{甲}} = \frac{1}{12}
$，乙效率 $P_{\text{乙}} = \frac{1}{18}
$，丙效率 $P_{\text{丙}} = \frac{1}{24}$
3.
合作效率 $P_{\text{合}} = \frac{1}{12} + \frac{1}{18} + \frac{1}{24}$
公分母为72：$\frac{6}{72} + \frac{4}{72} + \frac{3}{72} = \frac{13}{72}$
4.
合作时间 $T_{\text{合}} = \frac{1}{\frac{13}{72}} = \frac{72}{13}$ 天
答：三人合作需要 $\frac{72}{13}$ 天完成（约5.54天）。
例题3：先单独后合作问题
一项工程，甲单独完成需要20天，乙单独完成需要30天。甲先单独做5天，然后乙加入合作。问从开始到完成共用了多少天？
解题步骤：
1.
设工作总量 $W = 1$
2.
甲效率 $P_{\text{甲}} = \frac{1}{20}
$，乙效率 $P_{\text{乙}} = \frac{1}{30}$
3.
甲5天完成工作量：$W_{\text{甲}} = \frac{1}{20} \times 5 = \frac{1}{4}$
4.
剩余工作量：$W_{\text{剩余}} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
5.
合作效率：$P_{\text{合}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$
6.
合作时间： $T_{\text{合}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{12}} = \frac{3}{4} \times 12 = 9
$ 天
7.
总时间： $T_{\text{总}} = 5 + 9 = 14
$ 天
答：从开始到完成共用了14天。
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