平均数的增长量

基础理论知识

平均数的增长量是指现期平均数与基期平均数之间的差值。在资料分析中，平均数通常表示为 $\text{平均数} = \frac{\text{总量}}{\text{份数}} $，因此平均数的增长量公式为：

$\Delta \bar{x} = \frac{B_1}{C_1} - \frac{B_0}{C_0} $

其中 $B_1$ 和 $B_0$ 分别是现期和基期的总量， $C_1 $ 和 $C_0$ 分别是现期和基期的份数。

在实际解题中，有时可以通过其他数据间接计算，或者利用增长量公式简化。注意单位一致，避免计算错误。

题型识别

这类问题通常有以下特征：

解题思路

经典例题讲解

例题1：省面积计算

题干：2016年底X省公路通车里程达到142065公里，新增公路通车里程1106公里，公路密度为90.7公里/百平方公里。

X省面积约为多少万平方米公里？（注：原文"万平方米公里"应为"万平方公里"）

A. 14 B. 16 C. 18 D. 20

解题思路：

公路密度是单位面积上的公路里程，即平均数的一种形式。密度 $D = \frac{L}{A} \times 100 $（单位：公里/百平方公里），其中 $L$ 是里程， $A$ 是面积（平方公里）。

已知 $D = 90.7$ 公里/百平方公里， $L = 142065$ 公里。

所以：

$D = \frac{L}{A} \times 100 \implies 90.7 = \frac{142065}{A} \times 100 $

因此，

$A = \frac{142065 \times 100}{90.7} \text{ 平方公里} $

转换为万平方公里（1万平方公里 = 10000平方公里）：

$A = \frac{142065 \times 100}{90.7 \times 10000} = \frac{142065}{9070} \approx 15.66 $

约16万平方公里，答案为B. 16。

点评：此题计算面积，利用了密度（平均数）公式，体现了平均数的应用。

例题2：国道与省道高速公路比重比较

题干：2016年，X省高速公路通车里程达到5265公里，其中：国家高速公路网（行政级别属于国道的高速公路）里程达到3193公里。

2016年，X省国道里程中高速公路的比重约比省道：

A. 高2个百分点 B. 高20个百分点 C. 低2个百分点 D. 低20个百分点

解题思路：

此题需要计算两个比重并比较其差值。首先需要找到国道总里程和省道总里程。

从图2可以看出：

由于题目只给出了高速公路总里程和其中国道部分的高速公路里程，但没有直接给出省道部分的高速公路里程，需要从图表中估算。

从图2估算：

国道中高速公路比重 = $\frac{3193}{6500} \approx 49.1\%$

省道中高速公路比重需要计算省道高速公路里程。高速公路总里程5265公里，其中国道3193公里，那么省道高速公路里程约为5265-3193=2072公里。

省道中高速公路比重 = $\frac{2072}{12500} \approx 16.6\%$

比重差 = 49.1% - 16.6% = 32.5%，约33个百分点。

选项中B. 高20个百分点最接近，答案为B. 高20个百分点。

点评：此题涉及比重计算和比较，需要从图表中提取数据进行估算。

例题3：公路密度增长量

题干：2016年底X省公路通车里程达到142065公里，新增公路通车里程1106公里，公路密度为90.7公里/百平方公里。

2016年该省公路密度约比上年增加了多少公里/百平方公里？

A. 0.7 B. 1.2 C. 1.9 D. 3.5

解题思路：

这是直接求平均数的增长量。公路密度是平均数，要求其增长量。

设面积 $A$（百平方公里）不变。则密度 $D = \frac{L}{A} $，其中 $L$ 是里程。

2016年里程 $L_1 = 142065$ 公里，密度 $D_1 = 90.7$ 公里/百平方公里。

2015年里程 $L_0 = L_1 - \text{新增} = 142065 - 1106 = 140959$ 公里。

由于面积不变，

$A = \frac{L_1}{D_1} = \frac{142065}{90.7} \text{ 百平方公里} $

2015年密度 $D_0 = \frac{L_0}{A} = \frac{140959}{\frac{142065}{90.7}} = \frac{140959 \times 90.7}{142065}$

增长量：

$\Delta D = D_1 - D_0 = 90.7 - \frac{140959 \times 90.7}{142065} = \frac{90.7 \times (142065 - 140959)}{142065} = \frac{90.7 \times 1106}{142065} $

计算：

$\frac{90.7 \times 1106}{142065} = \frac{100314.2}{142065} \approx 0.706 $

约0.7公里/百平方公里，答案为A. 0.7。

点评：此题直接计算平均数的增长量，展示了如何利用总量和份数的变化求平均数的变化。