分段计算问题

一、基础理论知识

分段计算问题的核心是"分段"，即根据不同的数量范围适用不同的计算规则。常见应用场景包括：

关键概念：

常用公式

分段函数一般形式：

$f(x) = \begin{cases} p_1 \cdot x + b_1 & \text{if } x \leq c_1 \\ p_2 \cdot (x - c_1) + f(c_1) & \text{if } c_1 < x \leq c_2 \\ \vdots \\ p_n \cdot (x - c_{n-1}) + f(c_{n-1}) & \text{if } x > c_{n-1} \end{cases} $

其中 $p_i$ 为第 $i$ 段费率， $c_i $为分段点， $b_i $ 为常数。

总费用公式：

$C = \sum_{i=1}^{n} p_i \cdot m_i $

其中 $p_i$ 是第 $i$ 段单价， $m_i $ 是第 $i$ 段数量。

二、题型识别

分段计算问题通常具有以下特征：

三、解题思路

四、经典例题讲解

例题1：个人所得税改革

题干：

目前我国个人所得税改革，个人税起征点由3500元提至5000元。原来的超额累进税率为：3500-5000元的部分按3%，超过5000元的部分按10%；改革后的超额累进税率为：超过5000元的部分按3%。现有某月工资是7000元，同比比改革前节省了多少元？

A.245 B.185 C.60 D.50

解题思路：

答案：B.185

公式应用：

$\text{税金} = \sum (\text{段内收入} \times \text{税率}) $

例题2：停车场收费

题干：

贾某在停车场停车，每个月前几个小时内收费的基础价格为5元/小时，之后按照基础价格的90%收费，某月贾某的停车时间为120小时，共交了545元，则按照基础价格停车的时间为多少小时？

A.8 B.10 C.15 D.20

解题思路：

答案：B.10

公式应用：

$\text{总费用} = p_1 \cdot t_1 + p_2 \cdot t_2 $

其中 $p_1, p_2$ 为各段单价， $t_1, t_2 $为各段时间

例题3：出租车费计算

题干：

某市出租车价格为：2公里以内8元，超过2公里不足5公里的部分，每公里2元；超过5公里不足8公里的部分，每公里3元；8公里以上的部分，每公里4元；不足1公里按1公里计算。某位乘客乘坐出租车花了20元，该出租车最多行驶了多少公里？

A.7 B.8 C.9 D.10

解题思路：

答案：A.7

公式应用：

$\text{总费用} = \text{基础费} + \sum (\text{段长} \times \text{段单价}) $