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余数和同余问题

余数和同余问题

记“差同减差，和同加和，余同取余”，最小公倍数做周期；扩展欧氏求逆元，中国剩余定理套模板，尾数法速排选项，10秒定解。

基础理论知识


余数：当整数 $a$ 除以正整数 $m$ 时，得到商 $q$ 和余数 $r $，满足 $r $ $a = mq + r $，其中 $0 \leq r < m $。
同余：如果两个整数 $a$ 和 $b$ 除以正整数 $m$ 所得的余数相同，则称 $a$ 和 $b$ 对模 $m$ 同余，记作 $a \equiv b \pmod{m} $
同余的性质：
反射性： $a \equiv a \pmod{m}$
对称性：如果 $a \equiv b \pmod{m} $，则 $b \equiv a \pmod{m}$
传递性：如果 $a \equiv b \pmod{m}$ 和 $b \equiv c \pmod{m} $，则 $a \equiv c \pmod{m}$
中国剩余定理：用于求解一组同余方程，形式为：

$\begin{cases} x \equiv a_1 \pmod{m_1} \\ x \equiv a_2 \pmod{m_2} \\ \vdots \\ x \equiv a_k \pmod{m_k} \end{cases} $

其中 $m_1, m_2, \dots, m_k$ 两两互质，则定理保证存在唯一解 modulo $M = m_1 m_2 \cdots m_k $


题型识别


余数和同余问题通常有以下特征：

问题中出现"分一组多几人"、"取几个剩几个"等描述。
涉及循环报数、物资分配等场景。
要求找到满足多个余数条件的最小整数或特定值。

解题思路


1.
列出同余方程：根据问题描述，将条件转化为同余方程。
2.
求解方程组：
对于简单问题，可以从满足一个条件开始，逐步枚举检查其他条件。
对于复杂问题，使用中国剩余定理或模运算性质。
3.
验证答案：确保解满足所有条件，且符合问题要求（如最小正整数）。

经典例题讲解


以下从专项练习中选择3道典型题目进行讲解。



例题1：原题第1题


题干：一群学生分小组在户外活动，如3人一组还多2人，5人一组还多3人，7人一组还多4人，则该群学生的最少人数是

A.23　　B.53　　C.88　　D.158


解题思路：

这个问题可以转化为同余方程组：

$\begin{cases} x \equiv 2 \pmod{3} \\ x \equiv 3 \pmod{5} \\ x \equiv 4 \pmod{7} \end{cases} $

使用逐步满足法求解：

先满足第一个条件： $x = 3k + 2 $。
代入第二个条件： $3k + 2 \equiv 3 \pmod{5} $，即 $3k \equiv 1 \pmod{5} $。解得 $k \equiv 2 \pmod{5} $（因为 $3 \times 2 = 6 \equiv 1 \pmod{5} $）。所以 $k = 5m + 2 $，则 $x = 3(5m + 2) + 2 = 15m + 8 $。
代入第三个条件： $15m + 8 \equiv 4 \pmod{7} $，即 $15m \equiv -4 \pmod{7} $， $15 \equiv 1 \pmod{7} $，所以 $m \equiv -4 \pmod{7} $，即 $ m \equiv 3 \pmod{7} $。因此 $m = 7n + 3 $，则 $ x = 15(7n + 3) + 8 = 105n + 53 $。

当 $n = 0$ 时， $ x = 53 $，满足最小正整数。

验证：53 ÷ 3 = 17 组余 2，53 ÷ 5 = 10 组余 3，53 ÷ 7 = 7 组余 4。

因此，答案为 **B.53**。



例题2：原题第3题


题干：一个盒子里有乒乓球100多个，如果每次取5个出来最后剩下4个，如果每次取4个最后剩3个，如果每次取3个最后剩2个，那么如果每次取12个最后剩多少个？

A.11　　B.10　　C.9　　D.8


解题思路：

设乒乓球数为 $ x $，根据条件：

$\begin{cases} x \equiv 4 \pmod{5} \\ x \equiv 3 \pmod{4} \\ x \equiv 2 \pmod{3} \end{cases} $

注意余数比除数小1，可以改写为：

$x + 1 \equiv 0 \pmod{5}, \quad x + 1 \equiv 0 \pmod{4}, \quad x + 1 \equiv 0 \pmod{3} $

所以 $x + 1$ 是 3、4、5 的公倍数。3、4、5的最小公倍数为 60。

由于乒乓球100多个， $ x + 1 = 120 $（因为60×2=120），所以 $x = 119 $。

现在求 $119 \div 12$ 的余数：119 ÷ 12 = 9 组余 11（因为 12×9=108, 119-108=11）。

验证：119 ÷ 5 = 23 组余 4，119 ÷ 4 = 29 组余 3，119 ÷ 3 = 39 组余 2。

因此，每次取12个剩11个，答案为 **A.11**。



例题3：原题第10题


题干：某社区计划组建多支社工团队，为此招募了一批社工。如果每支团队由3名社工组成，则剩余2名社工；如果每支团队由4名社工组成，同样剩余2名社工，则该社区可能招募了（）名社工。

A.32　　B.34　　C.36　　D.38


解题思路：

设社工数为 $ x $，根据条件：

$x \equiv 2 \pmod{3}, \quad x \equiv 2 \pmod{4} $

这意味着 $x - 2$ 是 3 和 4 的公倍数。3 和 4 的最小公倍数是 12。

所以 $ x - 2 = 12k $，即 $ x = 12k + 2 $。

代入选项：

A.32: $32 = 12 \times 2 + 8 $，不满足 12k+2。
B.34: $34 = 12 \times 2 + 10 $，不满足。
C.36: $ 36 = 12 \times 3 + 0 $，不满足。
D.38: $ 38 = 12 \times 3 + 2 $，满足。

验证：38 ÷ 3 = 12 团队余 2人，38 ÷ 4 = 9 团队余 2人。

因此，答案为 **D.38**。