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数列问题

数列问题

先判型——等差看差、等比看比，差比不动则做差再做差、累积或三阶；递推圈仨数找“和差倍方”规律，奇偶分组、分数拆分分子分母各列；验证两项即锁定，10秒得通项。

一、基础理论知识


1. 等差数列

从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数（公差 $d $）。


通项公式：$a_n = a_1 + (n-1)d$
前 $n$ 项和公式：

$S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) $

或

$S_n = \frac{n}{2} \times [2a_1 + (n-1)d] $


2. 等比数列

从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（公比 $q $）。


通项公式：$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$
前 $n$ 项和公式（当 $q \neq 1$）：

$S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q} $


3. 其他数列

如周期数列、递推数列等，需根据具体模式识别。


二、题型识别与解题思路


题型识别

数字序列规律：给定数列，求缺失项或通项
求和问题：求数列前 $n$ 项和或部分和
应用问题：如座位排列、费用分摊、库存管理等，转化为数列模型求解

解题思路

1.
识别类型：判断是等差数列、等比数列还是混合数列
2.
确定已知量：找出首项 $a_1 $、公差 $d $（或公比 $q $）、项数 $n $、和 $S_n$ 等
3.
应用公式：代入对应公式求解
4.
注意细节：项数的计算（如从第 $m$ 项到第 $n$ 项共 $n-m+1$ 项）、边界条件等

三、经典例题讲解


例题1：成绩名次问题


题干：

红星中学高二年级在本次期末考试中竞争激烈，年级前七名的三科（语文、数学、英语）平均成绩构成公差为1的等差数列，第七、八、九名的平均成绩既构成等差数列，又构成等比数列，张龙位列第十，与第九名相差1分，张龙的英语成绩为121分，但老师误登记为112分。那么，张龙的名次本该是：


A. 第四 B. 第五 C. 第七 D. 第八


解题思路：

前七名平均成绩成等差数列，且名次靠前成绩高，因此公差为负值（即递减）
设第七名平均成绩为 $X $，则前七名平均成绩依次为：
第一 $X+6 $，第二 $X+5 $，第三 $X+4 $，第四 $X+3 $，第五 $X+2 $，第六 $X+1 $，第七 $X$
第七、八、九名平均成绩既等差又等比，说明三者相等，均为 $X$
张龙位列第十，登记平均成绩比第九名低1分，即 $X-1$
张龙英语成绩实际为121分，误登记为112分，因此实际总分高9分，实际平均成绩高3分
实际平均成绩为 $(X-1) + 3 = X+2$
比较实际平均成绩 $X+2$ 与前九名：等于第五名的平均成绩 $X+2$
因此张龙实际名次与第五名并列

答案：B



例题2：阶梯会议室座位问题


题干：

某阶梯会议室有16排座位，后一排比前一排多2个，最后一排有40个座位。这个阶梯会议室共有多少个座位？


A. 300 B. 350 C. 400 D. 440


解题思路：

座位数成等差数列，公差 $d = 2 $，项数 $ n = 16 $，末项 $a_n = 40$
求首项 $a_1 $：

$a_n = a_1 + (n-1)d $

$40 = a_1 + 15 \times 2 $

$a_1 = 40 - 30 = 10 $

求总座位数 $S_n $：

$S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) $

$S_{16} = \frac{16}{2} \times (10 + 40) = 8 \times 50 = 400 $


答案：C



例题3：电梯费分摊问题


题干：

某一楼一户住宅楼共17层，电梯费按季交纳，分摊规则为：第一层的住户不交纳；第三层及以上的住户，每层比下一层多交纳10元。若每一季度该住宅楼单元的电梯费共计1904元，则该单元第7层住户一季度应交纳的电梯费是：


A. 72元 B. 82元 C. 84元 D. 94元


解题思路：

从第二层开始交费，设第二层交费为 $x$ 元
第三层至第十七层交费成等差数列，公差 $d = 10 $，项数 $n = 16 $（从第二层到第十七层）
末项 $a_{16} = x + (16-1) \times 10 = x + 150$
总费用公式：

$S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) $

$1904 = \frac{16}{2} \times (x + x + 150) = 8 \times (2x + 150) = 16x + 1200 $

解方程：

$16x + 1200 = 1904 $

$16x = 704 $

$x = 44 $

第七层交费：第七层是第二层后的第5项（第二层为第1项）

$a_6 = x + (6-1) \times 10 = 44 + 50 = 94\text{元} $


答案：D