一、基础理论知识
多集合反向构造是数量关系中最值问题的一种常见题型，主要涉及多个集合的交集的最小值计算。核心思想是通过容斥原理的反向思维，利用公式快速求解"至少有多少元素同时属于所有集合"。这类问题在公考中频繁出现，掌握公式和解题思路至关重要。
核心公式
对于 $n$ 个集合，设每个集合的大小为 $A_1, A_2, \dots, A_n $，总元素数为 $T $，则同时属于所有集合的最小值为：
$\min \bigcap_{i=1}^n A_i = \max \left( 0, \sum_{i=1}^n A_i - (n-1) \times T \right) $
如果计算结果为负数，则取 0，因为交集不能为负。
二、题型识别
当题目中出现以下特征时，可考虑使用多集合反向构造：
三、解题思路
四、经典例题讲解
以下例题均来自提供的专项练习，我们将逐步解析。
例题 1
题目： 某机构对全运会收视情况进行调查，在 1000 名受访者中，观看过乒乓球比赛的占 87%，观看过跳水比赛的占 75%，观看过田径比赛的占 69%。这 1000 名受访者中，乒乓球、跳水和田径比赛都观看过的至少有多少人？
解题步骤：
$\sum A_i = 870 + 750 + 690 = 2310 $
$\text{交集最小值} = 2310 - (3-1) \times 1000 = 2310 - 2000 = 310 $
答案： A. 310人
例题 2
题目： 一个班级一共有 50 人，其中参加 A 项目的有 45 人，参加 B 项目的有 35 人，参加 C 项目的有 40 人，请问这个班级中至少有多少人三个项目都参加？
解题步骤：
$\sum A_i = 45 + 35 + 40 = 120 $
$\text{交集最小值} = 120 - (3-1) \times 50 = 120 - 100 = 20 $
答案： B. 20
例题 3
题目： 某单位在网上办公系统传阅了 15 份文件，甲阅读了 9 份，乙阅读了 12 份，丙阅读了 10 份，则甲、乙、丙三人共同阅读过的文件至少有（ ）份。
解题步骤：
$\sum A_i = 9 + 12 + 10 = 31 $
$\text{交集最小值} = 31 - (3-1) \times 15 = 31 - 30 = 1 $
答案： B. 1
五、总结
多集合反向构造问题通过公式可快速求解，关键是识别题型并正确代入数据。公式：
$\min \bigcap_{i=1}^n A_i = \max \left( 0, \sum_{i=1}^n A_i - (n-1) \times T \right) $