一、理论知识讲解
非典型最值问题是行测数量关系中的一类重要题型，它不像典型最值问题（如和定最值、抽屉原理）那样有固定的解题模式，而是需要考生灵活运用数学知识，如函数、不等式、几何性质等，来求解某个量的最大值或最小值。这类问题往往涉及实际应用场景，要求考生在给定条件下进行优化分析。
非典型最值问题的核心是数学建模，即将实际问题转化为数学表达式，然后通过代数、几何或不等式方法求解最值。常见方法包括：
利用二次函数的顶点求最值
应用基本不等式（如算术-几何平均不等式）
利用几何性质（如两点之间线段最短）
使用导数求极值（在公考中较少见，但可通过代数方法替代）
二、题型识别
非典型最值问题通常具有以下特征：
题干中出现"至少""至多""最大""最小""最短""最长"等关键词
问题涉及优化，如成本最小、收益最大、距离最短等
条件可能涉及变量关系、几何图形或实际情境
没有标准套路，需要具体问题具体分析
三、解题思路
1. 理解问题：仔细阅读题干，明确求哪个量的最值，并找出所有约束条件
2. 建立模型：将问题转化为数学表达式，例如设未知数、建立函数关系或绘制几何图形
如果是二次函数，利用顶点公式求最值
如果涉及正数变量，考虑基本不等式
如果涉及几何问题，利用对称性、勾股定理等性质
必要时，通过代入法或枚举法验证
4. 验证答案：检查最值是否满足所有条件，并确保合理性
四、涉及公式
二次函数最值公式：对于函数 $f(x) = ax^2 + bx + c
$（ $a \neq 0
$），当 $a > 0$ 时，函数在 $x = -\frac{b}{2a}$ 处取得最小值，最小值为 $f\left(-\frac{b}{2a}\right)
$；当 $a < 0$ 时，函数在 $x = -\frac{b}{2a}$ 处取得最大值，最大值为 $f\left(-\frac{b}{2a}\right)$
基本不等式：对于正数 $a, b
$，有 $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}
$，等号当且仅当 $a = b$ 时成立推广到 $n$ 个正数： $\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}
$，等号当且仅当 $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ 时成立
两点间距离公式：在平面直角坐标系中，两点 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$ 之间的距离为 $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
五、例题讲解
例题1：二次函数最值问题
题目：某企业生产一种产品，每日总成本 $C
$（元）与日产量 $x
$（件）的关系为 $C = 1000 + 20x + 0.1x^2
$。每件售价为 50 元，问日产量为多少时，每日利润最大？最大利润是多少？
解题思路：
1. 理解问题：利润 = 收入 - 成本，收入为 $50x
$，成本为 $C = 1000 + 20x + 0.1x^2$
2. 建立模型：设利润函数 $L(x) = 50x - (1000 + 20x + 0.1x^2) = -0.1x^2 + 30x - 1000$
3. 求解最值：这是一个二次函数， $a = -0.1 < 0
$，故有最大值顶点横坐标 $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{30}{2 \times (-0.1)} = 150$最大利润 $L(150) = -0.1 \times 150^2 + 30 \times 150 - 1000 = 1250$ 元
4. 验证：日产量 150 件时，利润最大为 1250 元
答案：日产量 150 件时，最大利润 1250 元
例题2：不等式最值问题
题目：已知 $x > 0, y > 0
$，且 $x + y = 10
$，求 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 的最小值
解题思路：
1. 理解问题：在正数约束和和定条件下，求分式和的最小值
3. 求解最值：方法一：基本不等式由 $x + y = 10
$，有 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = \frac{1}{x} + \frac{4}{10 - x}$设函数 $f(x) = \frac{1}{x} + \frac{4}{10 - x}
$，求导或直接利用不等式方法二：柯西不等式根据柯西不等式：
$(x + y)\left(\frac{1}{x} + \frac{4}{y}\right) \geq (1 + 2)^2 = 9
$
所以 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} \geq \frac{9}{10}$等号成立当且仅当 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1/x}} = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{4/y}}
$，即 $x = \frac{y}{2}$结合 $x + y = 10
$，得 $x = \frac{10}{3}, y = \frac{20}{3}$
4. 验证：代入 $x = \frac{10}{3}, y = \frac{20}{3}
$，得 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = \frac{3}{10} + \frac{12}{20} = 0.3 + 0.6 = 0.9 = \frac{9}{10}$
答案：最小值为 $\frac{9}{10}$
通过以上讲解，希望考生能掌握非典型最值问题的基本方法。在练习中，注意灵活运用数学工具，加强建模能力。
